Question

【題目】橢圓 （a＞b＞0）與直線x+y=1交于P、Q兩點，且OP⊥OQ，其中O為坐標原點．
（1）求 的值；
（2）若橢圓的離心率e滿足 ≤e≤ ，求橢圓長軸的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設P（x1，y1），Q（x2，y2）由OP⊥OQ 可得 x 1x 2+y1 y 2=0

∵y1=1﹣x1，y2=1﹣x2

∴2x1x2﹣（x1+x2）+1=0①又將y=1﹣x代入 可得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0

∵△＞0∴ ，

代入①化簡得 ．

（2）∵

∴

∴

又由（1）知

∴ ∴ ，

∴長軸 2a∈[ ]．

【解析】（1）設P（x1，y1），Q（x2，y2）。由P,Q分別在橢圓上，直線上，OP⊥OQ聯立方程組即可求出答案。
（2）由且求出a的范圍。