Question

已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x≥0時，f(x)＝－

(Ⅰ)求當x＜0時，f(x)的解析式；

(Ⅱ)試確定函數y＝f(x)(x≥0)的單調區間，并證明你的結論；

(Ⅲ)(理)若x₁≥2，且x₂≥2

證明：|f(x₁)－f(x₂)|＜2．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)若x＜0則－x＞0，　　∵f(x)是偶函數， 　　∴f(x)＝f(－x)＝－＝(x＜0) 　　(Ⅱ)設x1，x2是區間[0，＋∞)上的任意兩個實數，且0≤x1＜x2， 　　則f(x1)－f(x2)＝＝ 　　當0≤x1＜x2≤1時，x1－x2＜0，x1x2－1＜0 　　而x12＋x1＋1＞0及x22＋x2＋1＞0 　　∴f(x1)－f(x2)＞0即f(x)在[0，1]上為減函數 　　同理，當1＜x1＜x2時，f(x1)－f(x2)＜0， 　　即f(x)在(1，＋∞)上為增函數 　　(Ⅲ)(理)∵f(x)在(1，＋∞)是增函數， 　　由x≥2得f(x)≥f(2)＝－2　　又x2＋x＋1＞0，－7x＜0 　　∴f(x)＝－＜0， 　　∴－2≤f(x)＜0 　　∵x1，x2≥2　　∴－2≤f(x1)＜0且－2≤f(x2)＜0即0＜－f(x2)≤2 　　∴－2＜f(x1)－f(x2)＜2 　　∴|f(x1)－f(x2)|＜2