Question

【題目】試確定平面上是否存在滿足下述條件的兩個不相交的無限點集、：

（1）在中，任何三點不共線，且任何兩點的距離至少為1；

（2）任何一個頂點在中的三角形，其內部均存在一個中的點，任何一個頂點在中的三角形，其內部均存在一個中的點.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

不存在這樣的集合、.

用反證法證明.

定義集合中的“凸五點組”為：一個凸多邊形，其頂點全部為集合中的點，且其內部和邊界上一共恰有集合中的五個點.

因為無限點集中任意兩點之間距離至少為1，所以，存在一個邊長一定的正方形中至少存在點集中的有限（至少五個）多個點.

設這有限個點的凸包為邊形.

考慮內部.

若其內部沒有點集中的點，則凸邊形比原圖形少一個點，其內部點一樣；若內部有點集中的點，考慮這些點和、的凸包為，則凸多邊形和其內部的點比原圖形少一個點（點）.依次類推，知道得到凸五點組.

在上面這個有限區域中，考慮一個凸五點組.

1.這個凸五點組的凸包為凸五邊形.則在、、中均存在點集中的點，分別為、、，故中有點集中的點，其在內部，這與為凸五點組矛盾.

2.這個凸五點組的凸包為凸四邊形，內部有點.則在、、、中均存在點集中的點，分別為、、、.若四邊形為凸四邊形，則、中有點集中的點、，它們至少有一點不同于.若為中包含，則、中有點集中的點、，它們至少有一點不同于.這均與為凸五點組矛盾.

3.這個凸五點組的凸包為，內部有點、.則在、、、、中均存在點集中的點，分別為、、、、.若為凸五邊形，則、、中有點集中的點、、，它們互不相同，至少有一點不同于、.若不為凸五邊形，則其中一定有一個含于另三點構成的三角形中，不放設中包含點，故、、中有點集中的點、、，它們至少有一點不同于、.這均與為凸五點組矛盾.

綜上，這樣的無限點集不存在.