Question

【題目】已知函數的定義域為，對于任意實數，，都有，當時，.

（1）求的值；

（2）證明：當時，.

（3）證明：在上單調遞減.

（4）若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析；（4）.

【解析】

（1）令，，化簡后可得的值.

（2）設，由題設可得，從而得到，結合可得.

（3）利用單調性的定義可證在上單調遞減.

（4）原不等式等價于，利用單調性和（1）中的結論可得對任意的恒成立，參變分離后可求的取值范圍.

（1）令，，∴，

∵時，，∴，∴.

（2）設，，則，

∴，∵，∴，即.

（3）任取，且，

則

，

∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴在上單調遞減.

（4），∴，

令,則，故在上恒成立，

所以在上恒成立，

由基本不等式可得，當且僅當等號成立，

故即.