Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，點E在棱PB上，且PE=2EB． （Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：∵PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD， ∴PA⊥BC．
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
∴BC⊥平面PAB．
又BC平面PCB，∴平面PAB⊥平面PCB．
（Ⅱ）證明：∵PC⊥AD，
∴在梯形ABCD中，由AB⊥BC，AB=BC，得∠BAC= ，
∴∠DCA=∠BAC= ，
又AC⊥AD，
故△DAC為等腰直角三角形，
∴DC= AC= （ AB）=2AB．
連接BD，交AC于點M，則 = =2．
連接EM，在△BPD中， = =2，∴PD∥EM，
又PD/平面EAC，EM平面EAC，
∴PD∥平面EAC．
（Ⅲ）解：以A為坐標原點，AB，AP所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．則A（0，0，0），B（0，3，0），C（3，3，0），P（0，0，3），E（0，2，1）

設 =（x，y，1）為平面AEC的一個法向量，則 ⊥ ， ⊥ ，
∵ =（3，3，0）， =（0，2，1），
∴ 解得x= ，y=﹣ ，
∴ =（ ，﹣ ，1）．
設 =（x′，y′，1）為平面PBC的一個法向量，則 ⊥ ， ⊥ ，
又 =（3，0，0）， =（0，﹣3，3），
∴ ，
解得x′=0，y′=1，
∴ =（0，1，1）．
（取PB中點為F，連接AF可證 為平面PBC的一個法向量．）
∵cos＜ ， ＞= = ，
∴平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值為
注：以其他方式建系的參照給分．

【解析】（Ⅰ）根據PA⊥底面ABCD，得到PA⊥BC，結合AB⊥BC，可得BC⊥平面PAB．最后根據面面垂直的判定定理，可證出平面PAB⊥平面PCB．（Ⅱ）利用線面垂直的性質，可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD，根據題中數據結合平行線分線段成比例，算出DC=2AB，從而得到△BPD中，PE：EB=DM：MB=2，所以PD∥EM，由線面平行的判定定理可得PD∥平面EAC．（Ⅲ）建立空間直角坐標系，求出平面AEC、平面PBC的一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線與平面平行的判定(平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行)，還要掌握平面與平面垂直的判定(一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直)的相關知識才是答題的關鍵．