Question

設f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤丨f（

π

6

）丨對一切x∈R恒成立，則以下結論正確的是

①②③

（寫出所有正確結論的編號）．
①f（

11π

12

）=0；
②f（x）既不是奇函數也不是偶函數；
③|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|；
④f（x）在區間[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）上單調遞減．

Answer 1

分析：化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得f（

π

6

） 是三角函數的最大值，得到x=

π

6

是三角函數的對稱軸，將其代入整體角令整體角等于kπ+

1

2

，求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質．

解答：解：由于 f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），且cosθ=

a

a2+b2

，sinθ=

b

a2+b2

，
f（x）≤丨f（

π

6

）丨對一切x∈R恒成立，故直線x=

π

6

 是函數f（x）的一條對稱軸，
可得2×

π

6

+θ=

π

2

+kπ，k∈Z，因此θ=

π

6

+kπ，k∈Z，故 f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+

π

6

+kπ）=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

）．
對于①，因為sin（2×

11π

12

+

π

6

）=sin2π=0，所以f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（2

11π

12

+

π

6

+kπ）=0，故①正確．
對于②，根據函數的表達式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函數也不是偶函數，故②正確．
對于③，由|f（

7π

10

）|=

a2+b2

|sin（

17π

30

+π+kπ）|=

a2+b2

|sin

17π

30

|=

a2+b2

sin

17π

30

，
而|f（

π

5

）|=

a2+b2

|sin（

17π

30

+kπ）|=

a2+b2

sin

17π

30

，可得|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|成立，故③正確．
對于④，因為函數的表達式f（x））=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

），表達式不確定，故[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）不一定是增區間，故④不正確．
綜上可得，只有①②③正確，
故答案為 ①②③．

點評：本題給出符合已知條件的三角函數表達式，叫我們判斷幾個選項的正確性，著重考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象與性質、兩角和與差的三角函數，屬于中檔題．