Question

【題目】已知橢圓C： =1（a＞b＞0），定義橢圓C上的點M（x0，y0）的“伴隨點”為．

（1）求橢圓C上的點M的“伴隨點”N的軌跡方程；

（2）如果橢圓C上的點（1，）的“伴隨點”為（，），對于橢圓C上的任意點M及它的“伴隨點”N，求的取值范圍；

（3）當a=2，b=時，直線l交橢圓C于A，B兩點，若點A，B的“伴隨點”分別是P，Q，且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O，求△OAB的面積．

Answer 1

【答案】（1）x2+y2=1，（2），（3）

【解析】

(1)由代入橢圓方程即可求得橢圓C上的點M的“伴隨點”N的軌跡方程；
（2）由題意，求得橢圓的方程，根據向量的坐標運算，即可求得
（3）求得橢圓方程，設方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理，根據向量數量積的坐標求得，弦長公式及點到直線的距離公式，即可求得的面積，直線的斜率不存在時，設方程為，代入橢圓方程，即可求得的面積．

(1)設，由題意，則 .

又，所以

.

(2)由橢圓C上的點（1，）的“伴隨點”為（，）

則，得，又,則.

點，在橢圓上，，，且

由于，的取值范圍是.

(3)設，則

當直線的斜率存在時，設其方程為，由 .

得 .

則

①

由以為直徑的圓經過坐標原點可得:,即.

又

整理得： ②

將①代入②得：

，則，

所以.

又點到直線的距離

所以

當直線的斜率不存在時，設其方程為

聯立橢圓方程得 ，得.

解得：，從而.

綜上：的面積是定值.