Question

【題目】據環保部門測定，某處的污染指數與附近污染源的強度成正比，與到污染源距離的平方成反比，比例常數為k（k>0）．現已知相距18km的A，B兩家化工廠（污染源）的污染強度分別為a,b，它們連線上任意一點C處的污染指數y等于兩化工廠對該處的污染指數之和．設AC=x（km）.

（1）試將y表示為x的函數；

（2）若a=1，且x=6時，y取得最小值，試求b的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】

（1）根據，得，分別求出兩個污染指數即可得出函數關系；

（2）利用導函數討論函數的單調性，在x=6時，函數取得極小值也是最小值，即可求解.

由題設，點受到處的污染指數，

受到處的污染指數，其中

所以點的污染指數，；

（2）若a=1，，

，

由題：且x=6時，y取得最小值，必是極小值，所以，

解得：

此時

，

當時，，函數遞減，當時，，函數遞增，

所以在x=6時，y取得極小值，也是的最小值，

所以.