Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，側面PAD是正三角形，側面底面ABCD，M是PD的中點.

（1）求證：平面PCD；

（2）求側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）在正方形ABCD中，證得，再在中得到，利用線面垂直的判定，即可得到平面PCD；

（2）取AD，BC的中點分別為E，F，連接EF，PE，PF，證得是側面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，再直角中，即可求得側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.

（1）在正方形ABCD中，，

又側面底面ABCD，側面底面，

所以平面PAD，

平面PAD，所以，

是正三角形，M是PD的中點，所以，

又，所以平面PCD.

（2）取AD，BC的中點分別為E，F，連接EF，PE，PF，

則，所以，

又在正中，，平面PEF，

∵正方形ABCD中，平面PEF，

是側面PBC與底面ABCD所成二面角的平面角，

由平面PAD，，平面PEF，平面PAD，

.設正方形ABCD的邊長，則，

所以，所以,

即側面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值為.