Question

【題目】已知f（x）= ．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性并證明；
（2）證明f（x）是定義域內的增函數；
（3）解不等式f（1﹣m）+f（1﹣m2）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：（x）是奇函數，理由如下：

∵f（x）的定義域為R，且f（﹣x）=﹣ =﹣f（x），

∴f（x）是奇函數

（2）證明： f（x）= =1﹣

設x1＜x2，則

f（x1）﹣f（x2）=1﹣ ﹣﹣（1﹣ ）=

∵y=10x為增函數，

∴當x1＜x2時， ＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在定義域上為增函數．

（3）解：不等式可化為f（1﹣m）＞﹣f（1﹣m2）

由（1）知f（x）是奇函數，

∴f（1﹣m）＞f（m2﹣1）

由（2）知f（x）在定義域上為增函數，

∴1﹣m＞m2﹣1

解得﹣2＜m＜1

【解析】（1）利用函數的奇偶性的定義判斷證明f（﹣x）=﹣ =﹣f（x），即可判定函數的奇偶性；（2）利用函數單調性的定義，設x1＜x2 ， 利用作差法證明f（x1）＜f（x2），即可得出函數的單調性；（3）根據函數的單調性與奇偶性，化抽象函數為具體函數，即可解不等式．