Question

【題目】已知f（x），g（x）分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f（x）+g（x）=2x ， 若存在x0∈[1，2]使得等式af（x0）+g（2x0）=0成立，則實數a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[ ]
【解析】解：解：∵f（x）為定義在R上的奇函數，g（x）為定義在R上的偶函數，

∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），

又∵由f（x）+g（x）=2﹣x，結合f（﹣x）+g（﹣x）=﹣f（x）+g（x）=2x，

∴f（x）=﹣ （2x﹣2﹣x），g（x）= （2x+2﹣x）．

等式af（x）+g（2x）=0，化簡為﹣ （2x﹣2﹣x）+ （22x+2﹣2x）=0．

∵x∈[1，2]，∴ ≤2x﹣2﹣x≤ ，

令t=2x﹣2﹣x，則t＞0，因此將上面等式整理，得：a=t+ ，

函數h（t）=t+ 在[ ]遞增， ≤t+ ≤ ，

則實數a的取值范圍是[ ]，

所以答案是：[ ]．

【考點精析】利用函數奇偶性的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．