Question

已知向量滿足，其中k＞0，
（1）試用k表示，并求出的最大值及此時的夾角為θ的值；
（2）當取得最大值時，求實數λ，使的值最小，并對這一結果作出幾何解釋．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得=-（ ），利用基本不等式可得 =，故 ≤-，此時，
=-=1×1cosθ，θ=120°．
（2）當取得最大值時，=-=，故當λ= 時，的最小值等于 ，
這一結果的幾何解釋：平行四邊形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，當且僅當OC=時，對角線OB最短為．
解答：解：（1）∵||=||=1，，
∴-2k+=3k² +6k+3 ，∴1-2k+k²=3k²+6k+3，
∴=-（ ）．∵=，
∴≤-，當且僅當，即k=1時，取等號．
此時，=-=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）當取得最大值時，=-，===，
故當λ= 時，的最小值等于=，
這一結果的幾何解釋：平行四邊形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，當且僅當OC=時，對角線OB最短為．
點評：本題考查兩個向量的數量積公式，兩個向量的數量積的定義，求向量的模的方法，基本不等式的應用，是一道中檔題．