Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點F1、F2分別為橢圓E：的左、右焦點，A，B分別是橢圓E的左、右頂點，D(1，0)為線段OF2的中點，且.

(1)求橢圓E的方程；

(2)若M為橢圓上的動點(異于A、B)，連接MF1并延長交橢圓E于點N，連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點P、Q，連接PQ設直線MN、PQ的斜率存在且分別為k1、k2，試問題是否存在常數，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）－

【解析】

(1)∵＋5＝0，∴＝5.∴a＋c＝5(a－c)，化簡得2a＝3c，故橢圓E的離心率為.

(2)存在滿足條件的常數λ，λ＝－.點D(1，0)為線段OF2的中點，∴c＝2，從而a＝3，b＝，左焦點F1(－2，0)，橢圓E的方程為＝1，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，則直線MD的方程為x＝y＋1，代入橢圓方程＝1，整理得，y2＋y－4＝0.∵y1＋y3＝，∴y3＝.從而x3＝，故點P.同理，點Q.∵三點M、F1、N共線，∴，從而x1y2－x2y1＝2(y1－y2)．從而k2＝，故k1－＝0，從而存在滿足條件的常數λ＝－