Question

（本小題共12分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD//BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=．

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，試確定t的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BQ⊥平面PAD．∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  

（2）．

【解析】

試題分析：（1）∵AD // BC，BC=AD，Q為AD的中點，∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD // BQ．∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°即QB⊥AD．

又∵平面PAD⊥平面ABCD 且平面PAD∩平面ABCD=AD， 

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．  

（2）∵PA=PD，Q為AD的中點， ∴PQ⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PQ⊥平面ABCD．

如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系．

則平面BQC的法向量為；，，

，．

設，則，，

∵，

∴ ， ∴    

在平面MBQ中，，，

∴ 平面MBQ法向量為．

∵二面角M-BQ-C為30，

∴ ．

考點：本題考查了空間中的線面關系

點評：高考中常考查空間中平行關系與垂直關系的證明以及幾何體體積的計算，這是高考的重點內容.證明的關鍵是熟練掌握并靈活運用相關的判定定理與性質定理.