Question

【題目】已知函數f（x）＝logax，g（x）＝m2x2﹣2mx+1，若b＞a＞1，且f（b），ab＝ba．

（1）求a與b的值；

（2）當x∈[0，1]時，函數g（x）的圖象與h（x）＝f（x+1）+m的圖象僅有一個交點，求正實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）a＝2，b＝4．（2）（0，1]∪[3，+∞）．

【解析】

（1）利用以及列方程組，由此求解出的值.

（2）首先求得、的單調區間，將分成兩種情況，結合與圖象僅有一個交點進行分類討論，由此求得的取值范圍.

（1）f（x）＝logax，（a＞1），

若b＞a，且，

可得或，

因為b＞a＞1，所以logab＞1，

所以logab＝2，即a2＝b，

因為ab＝ba

所以，

所以a2＝2a，

解之得a＝2，b＝4．

（2）因為m為正數，g（x）＝m2x2﹣2mx+1＝（mx﹣1）2為二次函數，

在區間為減函數，在區間為增函數，

函數y＝log2（x+1）+m 為上的增函數，

分兩種情況討論：

①當0＜m≤1 時，，在區間[0，1]上，y＝（mx﹣1）2為減函數，值域為[（m﹣1）2，1]，

函數y＝log2（x+1）+m 為增函數，值域為[m，m+1]，此時兩個函數圖象有一個交點，符合題意；

②當m＞1，得，在區間 上，y＝（mx﹣1）2為減函數，在區間 為增函數，

函數y＝log2（x+1）+m 為增函數，值域為[m，m+1]，

若兩個函數圖象有一個交點，則有（m﹣1）2≥m+1，解之得m≤0 或m≥3，

因為m為正數，則m≥3；

綜上m的取值范圍為（0，1]∪[3，+∞）．