Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，SA＝SB＝SC＝SD，點E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，點P是MN上的一點．

（1）證明：EP∥平面SBD；

（2）求四棱錐S﹣ABCD的表面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）．

【解析】

（1）根據已知條件可證平面EMN∥平面SBD，即可證結論；

（2）四棱錐的各側面為全等的等腰三角形，只需求出底邊的高，求出側面積，即可求出全面積.

（1）證明：連接BD，EM，EN，

∵E，M，N分別是BC，CD，SC的中點，∴EM∥BD，MN∥SD，

∵BD平面SBD，EM平面SBD，∴EM∥平面SBD，

∵SD平面SBD，MN平面SBD，∴MN∥平面SBD，

又EM平面EMN，MN平面EMN，MN∩EM＝M，

∴平面EMN∥平面SBD，而EP平面EMN，

則EP∥平面SBD；

（2）解：在四棱錐S﹣ABCD中，由底面ABCD是邊長為2的正方形，

SA＝SB＝SC＝SD，可知四棱錐S﹣ABCD是正四棱錐，

又E為BC的中點，連接SE，

則SE為四棱錐的斜高，可得，

∴四棱錐S﹣ABCD的表面積S．