Question

【題目】已知函數.

（1）當時,恒成立,求實數的取值范圍;

（2）是否同時存在實數和正整數,使得函數在上恰有2019個零點若存在,請求出所有符合條件的和的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）答案見解析

【解析】

（1）化簡得:,則當時,, 要使對任意恒成立,令,則,對任意恒成立,即可求得答案.

（2）若同時存在實數和正整數滿足條件,函數在上恰有2019個零點,即函數與直線在上恰有2019個交點,對進行討論,即可求得答案.

（1）化簡:

當時,,

,則

要使對任意恒成立,

令,則,對任意恒成立,

只需

解得,

實數的取值范圍為.

（2）假設同時存在實數和正整數滿足條件,函數在上恰有2019個零點,即函數與直線在上恰有2019個交點

當時,,

①當或時,函數與直線在上無交點,

②當或時,函數與直線在上僅有一個交點,

此時要使函數與直線在上恰有2019個交點,則;

③當或時,函數與直線在上有兩個交點,

此時函數與直線在上有偶數個交點,不可能有2019個交點,不符合;

④當時,函數與直線在上有2個交點,

此時要使函數與直線在上恰有2019個交點,則;

綜上所述,存在實數和正整數滿足條件:

當時,;

當時,;

當時,.