Question

【題目】已知函數，其中.

（1）討論函數的單調性；

（2）證明：在區間上只有唯一的零點.

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）證明過程見詳解.

【解析】

（1）先對函數求導，得到，先討論，得到函數恒增，再討論，兩種情況，利用導數的方法，解對應不等式，即可得出結果；

（2）先由（1），得到當時，以及時，函數在區間上都是單調遞增的，再由，即可得出結論成立.

（1）因為，所以，

當時，，此時在單調遞增；

當時，，

①當時，，恒成立，

恒成立，此時在上單調遞增；

②當時，令

由得或；

由得；

所以在和上單調遞增；

在上單調遞減；

綜上：當時，在單調遞增；

當時，在和上單調遞增；

在上單調遞減；

（2）由（1）知，當時，在單調避增，，

此時在區間上有一個零點；

當時，且，

在單調遞增；，此時在區間上有一個零點；

綜上可知，在區間上只有唯一的零點