Question

【題目】

已知動圓恒過且與直線相切，動圓圓心的軌跡記為；直線與軸的交點為，過點且斜率為的直線與軌跡有兩個不同的公共點， ， 為坐標原點.

（1）求動圓圓心的軌跡的方程，并求直線的斜率的取值范圍；

（2）點是軌跡上異于， 的任意一點，直線， 分別與過且垂直于軸的直線交于， ，證明： 為定值，并求出該定值；

（3）對于（2）給出一般結論：若點，直線，其它條件不變，求的值（可以直接寫出結果）.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：根據拋物線的定義可知圓心的軌跡為拋物線，求出拋物線的方程，聯立直線和拋物線方程，設而不求，代入得出關于的一元二次方程，利用跟與系數關系得出和，根據直線與拋物線有兩個交點，求出的范圍；寫出方程，解出坐標，表示，化簡出結論.

試題解析：

（1）由動圓恒過且與直線相切得，點到與到直線距離相等，所以圓心的軌跡的方程為：

聯立得， ，

當時，一次方程只有一個根，所以不成立.

所以 解得

總之，直線的斜率的取值范圍為

（2）設， ， ，

直線： ，即：

其與的交點，

同理與的交點

所以

由（1）中的得， 代入上式得

故

（3）略證：不作要求只給結論分.

（聯立得， 所以，得

p>直線： ，即：

，

所以 ，