Question

【題目】己知圓的圓心在直線上，且過點，與直線相切．

（）求圓的方程．

（）設直線與圓相交于，兩點．求實數的取值范圍．

（）在（）的條件下，是否存在實數，使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】本試題主要是考查了線與圓的位置關系的綜合運用。

（1）因為圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點（1，3），與直線x+2y-7=0相切. 利用圓心到直線的距離等于圓的半徑得到結論。

（2）因為直線與圓相交，則圓心到直線的距離小于圓的半徑得到參數a的范圍。

（3）設符合條件的實數存在，由于，則直線的斜率為，的方程為，即，由于垂直平分弦，故圓心上，從而得到。

解：（1）因為圓C的圓心在直線y=x+1上，可設圓心坐標為，由題意可列方

程，解得，所以圓心坐標為（），半徑

為，所以圓的方程為。-----------------5分

(2)聯立方程，消得，由于直線與圓交于兩點，所以，解得，所以的取值范圍是（）------8分（3）設符合條件的實數存在，由于，則直線的斜率為，的方程為，即，由于垂直平分弦，故圓心上，

所以，解得，由于，故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦.--------------13分