Question

【題目】在平面直角坐標系中，①已知點，，為曲線上任一點，到點的距離和到點的距離的比值為2；②圓經過，，且圓心在直線上.從①②中任選一個條件.

（1）求曲線的方程；

（2）若直線被曲線截得弦長為2，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）若選擇條件①，根據平面直角坐標系上任意兩點的距離公式計算，化簡可得.

若選擇條件②，求出直線的方程，的中點坐標，即可得到的垂直平分線的方程，聯立得到圓心坐標，再用兩點的距離公式求出半徑，即可得解.

（2）根據弦長求出圓心到直線的距離，利用點到線的距離公式求出參數的值.

解：（1）選擇條件①

則，即，

所以，整理得：，即.

選擇條件②，

，的中點為，，

所以的垂直平分線方程為，即，

所以，解得圓心.

，所以曲線的方程為.

（2）直線被曲線截得弦長為2，圓心到直線的距離

.

由點到直線的距離公式，

解得.