Question

【題目】已知平行四邊形中，，，，是線段的中點，沿將翻折到，使得平面平面.

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）首先證出，再利用面面垂直的性質定理即可證出.

（2）以為原點，，，所在直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，平面的一個法向量，利用空間向量的數量積即可求解.

（1）由題意可知，，，

即，故.

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

（2）由（1）知平面，且，

以為原點，，，所在直線分別為，，軸

建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，.

由于是線段的中點，所以在平面中，

，.

設平面的法向量為，則，即，

令，得，

所以平面的一個法向量為，

而平面的一個法向量為.

故，易知二面角的平面角為銳角，

故二面角的余弦值為.