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【題目】若數列同時滿足：①對于任意的正整數， 恒成立；②對于給定的正整數， 對于任意的正整數恒成立，則稱數列是“數列”.

（1）已知判斷數列是否為“數列”，并說明理由；

（2）已知數列是“數列”，且存在整數，使得， ， ， 成等差數列，證明： 是等差數列.

【答案】（1）是（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據定義驗證兩個條件是否成立，由于函數為分段函數，所以分奇偶分別驗證（2）根據定義數列隔項成等差，再根據單調性確定公差相等，最后求各項通項，根據通項關系得數列通項，根據等差數列證結論

試題解析：（1）當為奇數時， ，所以.

.

當為偶數時， ，所以.

.

所以，數列是“數列”.

（2）由題意可得： ，

則數列， ， ， 是等差數列，設其公差為，

數列， ， ， 是等差數列，設其公差為，

數列， ， ， 是等差數列，設其公差為.

因為，所以，

所以，

所以①，②.

若，則當時，①不成立；

若，則當時，②不成立；

若，則①和②都成立，所以.

同理得： ，所以，記.

設 ，

則

.

同理可得： ，所以.

所以是等差數列.

【另解】 ，

，

，

以上三式相加可得： ，所以，

所以 ，

，

，

所以，所以，

所以，數列是等差數列.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經過兩點，的直線的距離為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經過，兩點，求橢圓的方程．

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【題目】已知圓，直線.

（1）求直線所過定點A的坐標；

（2）求直線被圓C所截得的弦長最短時直線的方程及最短弦長；

（3）已知點M(-3,4)，在直線MC上(C為圓心)，存在定點N(異于點M)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數， 試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數.

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【題目】定義：如果一個數列從第二項起，后一項與前一項的和相等且為同一常數，這樣的數列叫“等和數列”，這個常數叫公和．給出下列命題：

①“等和數列”一定是常數數列；

②如果一個數列既是等差數列又是“等和數列”，則這個數列一定是常數列；

③如果一個數列既是等比數列又是“等和數列”，則這個數列一定是常數列；

④數列是“等和數列”且公和，則其前項之和；

其中，正確的命題為__________．（請填出所有正確命題的序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當l的斜率為1時，坐標原點O到l的距離為2。

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在一點P，使得當l繞F轉到某一位置時，有成立？若存在，求點P的坐標與直線l的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取M名學生作為樣本，得到這M名學生參加社區服務的次數．根據此數據作出了頻數與頻率的統計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組

頻數

頻率

[10，15）

10

0.25

[15，20）

24

n

[20，25）

m

p

[25，30）

2

0.05

合計

M

1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學生有240人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間[10，15）內的人數；

（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間[25，30）內的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中， 為正三角形，平面平面， ， ， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面?若存在，請確定點的位置并證明；若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某學生參加4門學科的學業水平測試，每門得等級的概率都是，該學生各學科等級成績彼此獨立.規定：有一門學科獲等級加1分，有兩門學科獲等級加2分，有三門學科獲等級加3分，四門學科全獲等級則加5分，記表示該生的加分數， 表示該生獲等級的學科門數與未獲等級學科門數的差的絕對值.

（1）求的數學期望；

（2）求的分布列.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.

(1)當a=3時，求A∩B；

(2)若a>0，且A∩B=，求實數a的取值范圍．

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