Question

【題目】已知橢圓的中心在原點，焦點在 軸上，離心率為 ，且經過點 ，直線 ： 交橢圓于 ， 兩不同的點.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線 不過點 ，求證：直線 ， 與 軸圍成等腰三角形.

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓方程為 ，因為 ，所以 ，

又橢圓過點 ，所以 ，解得 ， ，故橢圓的方程為

（2）解：將 代入 并整理得 ，

再根據 ，求得 .

設直線 ， 斜率分別為 和 ，只要證 即可.

設 ， ，則 ， ，

∴

而此分式的分子等于

可得

因此 ， 與 軸所圍成的三角形為等腰三角形.

【解析】（1）根據橢圓離心率公式e=及a2=b2+c2得到a，b的關系式，將點的坐標代入橢圓方程，兩方程聯立求出a2，b2即可；（2）聯立直線方程和橢圓方程，消去y，利用二次方程根與系數關系寫出點A和點B橫坐標滿足的關系式，將kMA+kMB用 點A和點B橫坐標，只要證出kMA+kMB=0即可.