Question

【題目】已知首項均為的數列，，滿足.

（1）令，求數列的通項公式；

（2）若數列為各項均為正數的等比數列，且，設，求數列的前項和.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

試題分析：（1）由題意得，從而，由此推導出數列是首項為，公差為的等差數列，進而可求出數列的通項公式；（2） ,為正項數列，∴，∴,先分組求，利用錯位相減法結合等比數列的求和公式，可求得數列的前項和.

試題解析：（1） ，

即，且，

∴.

（2） ，

∵為正項數列，∴，∴，

∴.

（2）方法一：

，

設

，

設

，

∴ ，

∴

，

∴，

∴ .

方法二：

，

∴

，

令，

∴ ，

∴

，

∴，

∴.

【 方法點睛】本題主要考查等比數列求和公式與等差數列的通項以及錯位相減法求數列的前 項和，屬于中檔題.一般地，如果數列是等差數列，是等比數列，求數列的前項和時，可采用“錯位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“”的表達式.