Question

【題目】已知函數f(x)＝ln x，g(x)＝ (a>0)，設F(x)＝f(x)＋g(x)．

(1)求函數F(x)的單調區間；

(2)若函數y＝F(x)(x∈(0，3])圖像上任意一點P(x0，y0)處的切線的斜率k≤恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求導，利用導數大于0求函數的增區間，導數小于0求函數的減區間（2）由題意知導數小于等于恒成立，分離參數即可求出a的最小值.

(1)F(x)＝f(x)＋g(x)＝ln x＋ (x>0)，F′(x)＝－＝ (x>0)．

∵a>0，由F′(x)>0得x∈(a，＋∞)，∴F(x)在(a，＋∞)上單調遞增．

由F′(x)<0得x∈(0，a)，∴F(x)在(0，a)上單調遞減．故f(x)的單調遞減區間為(0，a)，單調遞增區間為(a，＋∞)．

(2)F′(x)＝ (0<x≤3)，k＝F′(x0)＝≤ (0<x0≤3)恒成立a≥ (0<x0≤3)．當x0＝1時，－ x＋x0取得最大值.∴a≥，∴amin＝.