Question

【題目】已知圓的方程:

（1）求m的取值范圍；

（2）若圓C與直線相交于,兩點，且,求的值

（3）若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M、N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值；

Answer 1

【答案】(1);(2);(3).

【解析】

試題分析：(1)圓的方程要滿足;或配成圓的標準方程，;

(2) 利用弦心距公式，先求點到面的距離，利用 ，求出的值;

(3)設,若,那么,利用直線方程與圓的方程聯立，得到根與系數的關系式，代入后，求得的值.

試題解析：解：（1）(1)方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0，可化為

(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，

∵此方程表示圓，

∴5－m＞0，即m＜5.

(2) 圓的方程化為 ，圓心 C（1，2），半徑 ，

則圓心C（1，2）到直線的距離為

由于，則，有，

得.

（3）

消去x得(4－2y)2＋y2－2×(4－2y)－4y＋m＝0，

化簡得5y2－16y＋m＋8＝0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則

①②

由OM⊥ON得y1y2＋x1x2＝0

即y1y2＋(4－2y1)(4－2y2)＝0，

∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0.

將①②兩式代入上式得

16－8×＋5×＝0，

解之得.