Question

【題目】已知函數為偶函數，且.

（1）求的值，并確定的解析式；

（2）若且）,是否存在實數，使得在區間上為減函數.

Answer 1

【答案】（1）或,（2）存在;

【解析】

（1）根據函數為偶函數,且可知且為偶數,即可求得的值,進而確定的解析式.

（2）將（1）所得函數的解析式代入即可得的解析式.根據復合函數單調性對底數分類討論,即可求得在區間上為減函數時實數的取值范圍.

（1）因為

則,解不等式可得

因為

則或或

又因為函數為偶函數

所以為偶數

當時, ,符合題意

當時, ,不符合題意,舍去

當時, ,符合題意

綜上可知, 或

此時

（2）存在.理由如下:

由（1）可得

則且

當時,根據對數函數的性質可知對數部分為減函數.根據復合函數單調性判斷方法可知, 在上為增函數且滿足在上恒成立

即解不等式組得

當時,根據對數函數的性質可知對數部分為增函數.根據復合函數單調性判斷方法可知, 在上為減函數且滿足在上恒成立

即解不等式組得

綜上可知,當或時, 在上為減函數

所以存在實數,滿足在上為減函數