【題目】四棱錐
中， 
，且
平面
， 
， 
， 
是棱
的中點.
（1）證明： 
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
.
【解析】試題分析：（1）取
中點
，連接
、
，四邊形
是平行四邊形，通過證明
面ACD,來證明
平面
。（2）取
中點
，過N點做BE的平行線為y軸，NB,NA分別為x,z軸建立空間直角坐標系，由空間向量求二面角的余弦值。
試題解析：（1）取
中點
，連接
、
，
∵
是
中點，∴
，且
.
又因為
，∴
.又∵
，∴
，∴四邊形
是平行四邊形.∴
，又
，∴
是等邊三角形，∴
，∵
平面
， 
，∴
平面
，∴
，∴
平面
，∴
平面
.
（2）取
中點
，則
， 
平面
，以
為原點建立如圖所示的直角坐標系.
各點坐標為
， 
， 
， 
， 
， 
.
可得
， 
， 
， 
；
設平面
的法向量
，則
得
，
取
，
設平面
的法向量
，則
得
，
取
，
于是
，
注意到二面角
是鈍角，因此，所求二面角的余弦值就是
.
小學奪冠AB卷系列答案
ABC考王全優卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的準線與
軸交于點
，過點
作圓
的兩條切線，切點為
，且
.
(1)求拋物線
的方程；
(2)若直線
是過定點
的一條直線，且與拋物線
交于
兩點，過定點
作
的垂線與拋物線交于
兩點，求四邊形
面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在某中學舉行的物理知識競賽中，將三個年級參賽學生的成績在進行整理后分成5組，繪制出如圖所示的須率分布直方圖，圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組.已知第三小組的頻數是15.
（1）求成績在50-70分的頻率是多少
（2）求這三個年級參賽學生的總人數是多少：
（3）求成績在80-100分的學生人數是多少
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
的焦點
為曲線
的一個焦點， 
為坐標原點，點
為拋物線
上任意一點，過點
作
軸的平行線交拋物線的準線于
，直線
交拋物線于點
.
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）若
、
、
三個點滿足
，求直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
， 
（Ⅰ）當
時，求函數
的單調遞減區間；
（Ⅱ）若
時，關于
的不等式
恒成立，求實數
的取值范圍；
（Ⅲ）若數列
滿足
， 
，記
的前
項和為
，求證： 
.
【答案】（I）
；（II）
；（III）證明見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）求出
，在定義域內，分別令
求得
的范圍，可得函數
增區間， 
求得
的范圍，可得函數
的減區間；（Ⅱ）當
時，因為
，所以
顯然不成立，先證明因此
時， 
在
上恒成立，再證明當
時不滿足題意，從而可得結果；（III）先求出等差數列的前
項和為
，結合（II）可得
，各式相加即可得結論.
試題解析：（Ⅰ）由
，得
.所以
令
，解得
或
（舍去），所以函數
的單調遞減區間為 
.
（Ⅱ）由
得， 
當
時，因為
，所以
顯然不成立，因此
.
令
，則
，令
，得
.
當
時， 
， 
，∴
，所以
，即有
.
因此
時， 
在
上恒成立.
②當
時， 
， 
在
上為減函數，在
上為增函數，
∴
，不滿足題意.
綜上，不等式
在
上恒成立時，實數
的取值范圍是
.
（III）證明：由
知數列
是
的等差數列，所以
所以
由（Ⅱ）得， 
在
上恒成立.
所以
. 將以上各式左右兩邊分別相加，得
.因為
所以
所以
.
【題型】解答題
【/span>結束】
22
【題目】已知直線
， (
為參數， 
為傾斜角).以坐標原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的直角坐標方程為
.
（Ⅰ）將曲線
的直角坐標方程化為極坐標方程；
（Ⅱ）設點
的直角坐標為
，直線
與曲線
的交點為
、
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環．據此，某網站退出了關于生態文明建設進展情況的調查，調查數據表明，環境治理和保護問題仍是百姓最為關心的熱點，參與調查者中關注此問題的約占
．現從參與關注生態文明建設的人群中隨機選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求出
的值；
（2）求這200人年齡的樣本平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數（精確到小數點后一位）；
（3）現在要從年齡較小的第1,2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機抽取3人進行問卷調查，求這2組恰好抽到2人的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)的導函數f '(x)的圖象如圖所示,f(-1)=f(2)=3,令g(x)=(x-1)f(x),則不等式g(x)≥3x-3的解集是( )
A. [-1,1]∪[2,+∞)B. (-∞,-1]∪[1,2]
C. (-∞,-1]∪[2,+∞)D. [-1,2]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年寒假期間新冠肺炎肆虐，全國人民眾志成城抗疫情.某市要求全體市民在家隔離，同時決定全市所有學校推遲開學.某區教育局為了讓學生“停課不停學”，要求學校各科老師每天在網上授課輔導，每天共200分鐘.教育局為了了解高三學生網上學習情況，上課幾天后在全區高三學生中采取隨機抽樣的方法抽取了80名學生（其中男女生恰好各占一半）進行問卷調查，按男女生分為兩組，再將每組學生在線學習時間（分鐘）分為5組
，
，
，
，
得到如圖所示的頻率分布直方圖.全區高三學生有3000人（男女生人數大致相等），以頻率估計概率回答下列問題：
（1）估計全區高三學生中網上學習時間不超過40分鐘的人數；
（2）在調查的80名高三學生且學習時間不超過40分鐘的學生中，男女生按分層抽樣的方法抽取6人.若從這6人中隨機抽取2人進行電話訪談，求至少抽到1名男生的概率.
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