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【題目】如圖,A,B,C,D為空間四點.在△ABC中,AB=2,AC=BC= .等邊三角形ADB以AB為軸運動.

(1)當平面ADB⊥平面ABC時,求CD;
(2)當△ADB轉動時,是否總有AB⊥CD?證明你的結論.

【答案】
(1)解:取AB的中點E,連接DE,CE,

因為ADB是等邊三角形,所以DE⊥AB.

當平面ADB⊥平面ABC時,

因為平面ADB∩平面ABC=AB,

所以DE⊥平面ABC,

可知DE⊥CE

由已知可得 ,在Rt△DEC中,


(2)解:當△ADB以AB為軸轉動時,總有AB⊥CD.

證明:(ⅰ)當D在平面ABC內時,因為AC=BC,AD=BD,

所以C,D都在線段AB的垂直平分線上,即AB⊥CD.

(ⅱ)當D不在平面ABC內時,由(Ⅰ)知AB⊥DE.又因AC=BC,所以AB⊥CE.

又DE,CE為相交直線,所以AB⊥平面CDE,由CD平面CDE,得AB⊥CD.

綜上所述,總有AB⊥CD.


【解析】(1)取出AB中點E,連接DE,CE,由等邊三角形ADB可得出DE⊥AB,又平面ADB⊥平面ABC,故DE⊥平面ABC,在Rt△DEC中用勾股定理求出CD.(2)總有AB⊥CD,當D∈面ABC內時,顯然有AB⊥CD,當D在而ABC外時,可證得AB⊥平面CDE,定有AB⊥CD.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的性質的相關知識,掌握兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直.

練習冊系列答案
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A. , , 依次成公比為2的等比數列,且

B. , , 依次成公比為2的等比數列,且

C. , 依次成公比為的等比數列,且

D. , , 依次成公比為的等比數列,且

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B.0.20
C.0.25
D.0.45

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③(a+b)2=a2+2ab+b2與( + 2類比,則有( + 2= 2+2 + 2;
其中結論正確的個數是(
A.0
B.1
C.2
D.3

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