Question

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農業用地中規劃出一個高科技工業園區（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個底邊），已知其中AF是以A為頂點、AD為對稱軸的拋物線段．試求該高科技工業園區的最大面積．

 

 

Answer 1

【解析】

試題分析：求該高科技工業園區的最大面積，由梯形的面積公式須知PQ,PR,QE的長度，注意到點P在曲線AF上的動點，因此此題可建立直角坐標系求解，故以A為原點，AB所在的直線為x軸建立直角坐標系，從而得，而曲線AF是以A為定點，AD為對稱軸的拋物線段，故利用AF求出拋物線的方程，利用EC求出直線EC的方程，設出P點的坐標為，從而得出PQ,PR,PE的長度，由梯形的面積公式，得出工業園區的面積 ，由于是三次函數，需用求導來求最大值，從而解出高科技工業園區的最大面積是.

試題解析：以A為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系如圖，則…（2分）

由題意可設拋物線段所在拋物線的方程為，由得，，

∴AF所在拋物線的方程為， （5分）

又，∴EC所在直線的方程為，

設，則， （9分）

∴工業園區的面積， （12分）

∴令得或（舍去負值） ， （13分）

當變化時，和的變化情況可知，當時，取得最大值．

答：該高科技工業園區的最大面積．

考點：平面解析幾何與導數的應用.