Question

【題目】在數列中，，.數列滿足，且.

（1）求的值；

（2）求數列的通項公式；

（3）設數列的前項和為，若對于任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1); (2) ；(3) 當n為奇數時；當n為偶數時.

【解析】

（1）由遞推公式求出，再根據即可求出的值；（2）由，，結合同角三角函數關系，可化簡得，進而確定數列的首項與公比，代入等比數列通項公式即可得解；（3）由（2）中數列的通項公式，求出數列的前n項和，分n為奇數與n為偶數兩種情況進行討論求的取值范圍.

（1），，又且，

所以；

（2）因為，且，

所以，

所以，則，

因此數列是首項為，公比為的等比數列，；

（3）由是首項為，公比為的等比數列知，

因為，得，

①當n為奇數時，，因為上式對正奇數恒成立，所以；

②當n為偶數時，，因為上式對正偶數恒成立，所以.

綜上所述，當n為奇數時；當n為偶數時.