Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）設，若對任意給定的，關于的方程在上有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍（其中為自然對數的底數）.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】試題分析：（1）對函數求導研究導函數的正負情況，進而得到單調區間；（2）先求得當時，的值域為，方程在上有兩個不同的實數根滿足即可.

解析：

（1） ，

當時，，在上單調遞增；

當時，令，解得，令，解得，

此時在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）∵，∴.

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減，

∴當時，的值域為，又時，，

∴對任意時，的取值范圍為.

∵方程在上有兩個不同的實數根，則.

且滿足，

由解得，①

由，解得，②

由得，

令，易知單調遞增，

而，于是時，解得，③

綜上①②③得，，

即實數的取值范圍為：.