Question

【題目】數列1，1，3，3，，，…，，是由兩個1，兩個3，兩個，…，兩個按從小到大順序排列，數列各項的和記為，對于給定的自然數，若能從數列中選取一些不同位置的項，使得這些項之和恰等于，便稱為一種選項方案，和數為的所有選項方案的種數記為.試求：

的值.

Answer 1

【答案】

【解析】

對每個，易知數列前項之和小于，故形如的項必須從兩個中選出，于是選出一個有二種方法，同時選出兩個只有一種方法.

對于集合中的每一個數，可將其表成

，

其中.

即為的含有1993位的三進制數形式.

若，，，…，中恰是個為1（其余為0或2），則.

將集合分解為

，

其中中的每個數，在表成上述三進制形式后，數碼，，，…，中恰有個為1，因此，數集中共有個數，這時，中各數的值之和為

.

由于集，，，…，兩兩不交，從而

.

即.

注意到

即數列中每項都不選，其方法數.

故.