Question

【題目】設， .

（1）若，證明： 時， 成立；

（2）討論函數的單調性；

Answer 1

【答案】（1）見解析;

（2）， 在上單調遞增，在上單調遞減.

， 在， 上單調遞增，在上單調遞減.

， 在上單調遞增；

， 在， 上單調遞增，在上單調遞減.

【解析】試題分析：（1）證明不等式問題，一般轉化為求對應函數最值問題：即的最大值小于零，利用導數先研究函數的單調性，再得最大值，最后證明最大值小于零.（2）先求函數導數，根據導函數在定義域上解的情況分類討論，一般分為一次與二次，根有與無，兩根大與小，最后進行小結.

試題解析：（1）當時， ，要證時成立，由于，

只需證在時恒成立，

令，則，

設， ， ，

在上單調遞增， ，即，

在上單調遞增， ，

當時， 恒成立，即原命題得證.

（2）的定義域為， ，

①當時， 解得或； 解得，

所以函數在， 上單調遞增，在上單調遞減；

②當時， 對恒成立，所以函數在上單調遞增；

③當時， 解得或； 解得，

所以函數在， 上單調遞增，在上單調遞減；

④當時， ， 在上單調遞增，在上單調遞減.

⑤當， ， 在上單調遞增，在上單調遞減.

綜上， ， 在上單調遞增，在上單調遞減.

， 在， 上單調遞增，在上單調遞減.

， 在上單調遞增；

， 在， 上單調遞增，在上單調遞減.