Question

已知函數f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)(0＜?＜π，ω＞0)，
（Ⅰ）若函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，且它的圖象過（0，1）點，求函數y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）將（Ⅰ）中的函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求函數y=g（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）若f（x）的圖象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出現一個最高點或最低點，則正整數ω的最小值為多少？

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角差的正弦函數化簡函數的表達式，通過函數y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

，求出函數的周期，得到ω，且它的圖象過（0，1）點，求出?，即可求函數y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）利用將（Ⅰ）中的函數y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數y=g（x）的圖象，求出函數的解析式，利用正弦函數的單調性，求函數y=g（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）f（x）的圖象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出現一個最高點或
最低點，則

π

ω

＜

1

100

，即可求出ω的最小值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx+?)-cos(ωx+?)
=2[

3

2

sin(ωx+?)-

1

2

cos(ωx+?)]
=2sin(ωx+?-

π

6

)（3分）
由題意得

2π

ω

=2×

π

2

，所以ω=2所以f(x)=2sin(2x+?-

π

6

)
又因為y=f（x）的圖象過點（0，1），
∴sin(?-

π

6

)=

1

2

又∵0＜φ＜π
∴?=

π

3

∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)（6分）
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到y=2sin(2x-

π

6

)的圖象，
再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到y=2sin(

1

2

x-

π

6

)的圖象．
即g(x)═2sin(

1

2

x-

π

6

)（9分）
令2kπ-

π

2

≤

1

2

x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，則4kπ-

2π

3

≤x≤4kπ+

4π

3

∴g（x）的單調遞增區間為[4kπ-

2π

3

，4kπ+

4π

3

] (k∈Z)．（12分）
（Ⅲ）若f（x）的圖象在x∈(a，a+

1

100

) (a∈R)上至少出現一個最高點或
最低點，則

π

ω

＜

1

100

，即ω＞100π，又ω為正整數，
∴ω_min=315．（15分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的化簡求值，函數的單調性的應用，考查函數的基本性質，求出ω的最小值的條件，是解題的關鍵．