Question

動點C到點A（-1，0）的距離是它到點B（1，0）的距離的

2

倍．
（1）求動點C的軌跡方程；
（2）已知直線l經過點D（0，1）且與動點C的軌跡相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設C的坐標為（x，y），根據兩點間的距離公式化簡等式|CA|=

2

|CB|，即可得到動點C的軌跡方程；
（2）由（1）得到C的軌跡是以M（3，0）為圓心、半徑r=2

2

的圓．設所求直線l方程為y=kx+1，根據直線與圓相切利用點到直線的距離公式列式，解出k值即可得到所求滿足條件的直線l的方程．

解答：解：（1）設C（x，y），可得|CA|=

(x+1)2+y2

，|CB|=

(x-1)2+y2

，
∵C到點A（-1，0）的距離是它到點B（1，0），
∴|CA|=

2

|CB|，可得

(x+1)2+y2

=

2

•

(x-1)2+y2

，
化簡整理，得（x-3）²+y²=8，即為動點C的軌跡方程；
（2）由（1）可得動點C的軌跡是以M（3，0）為圓心、半徑r=2

2

的圓．
設經過點D（0，1）的直線l為y=kx+1，即kx-y+1=0
∵直線l與動點C的軌跡相切，即直線l與圓M相切，
∴點M到直線l的距離等于半徑，即

|3k+1|

k2+1

=2

2

，解之得k=1或-7．
由此可得直線l的方程為y=x+1或y=-7x+1．

點評：本題給出動點滿足的條件，求它的軌跡方程并依此求曲線的切線方程．著重考查了兩點的距離公式、直線的方程和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．