Question

【題目】在四菱錐P﹣ABCD中，PA⊥AD，PA=1，PC=PD，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=BC=1，CD=2．
（I）求證：PA⊥AB；
（II）求直線AD與平面PCD所成角的大小．

Answer 1

【答案】證明：（I）取CD的中點E，連接AE，PE，則AE⊥CD，PE⊥CD， ∵AE∩PE=E，∴CD⊥平面PAE．
∵PA平面PAE，∴CD⊥PA，
∵PA⊥AD，AD∩CD=D，
∴PA⊥平面ABCD，
∵AB平面ABCD，
∴PA⊥AB；
（II）解：由題意，AD=PE= ．
設A到平面PCD的距離為h，則由等體積可得 = ，
∴h=
∴直線AD與平面PCD所成角的正弦值為 = ，大小為30°．

【解析】（I）取CD的中點E，連接AE，PE，則AE⊥CD，PE⊥CD，證明PA⊥平面ABCD，即可證明：PA⊥AB；（II）求出A到平面PCD的距離，即可求直線AD與平面PCD所成角的大�。�
【考點精析】關于本題考查的直線與平面垂直的性質和空間角的異面直線所成的角，需要了解垂直于同一個平面的兩條直線平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．