Question

【題目】已知函數（）.

（1）判斷函數在區間上零點的個數；

（2）當時，若在（）上存在一點，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2) .

【解析】試題分析： 令， ，得，

記， ，求得導數，利用函數單調性可以求得函數極值點以此判斷函數在上的零點個數；

本題不宜分離，因此作差構造函數，利用分類討論法求函數最小值，由于，所以討論與的大小，分三種情況，當， 的最小值為， ， 的最小值為，當， 的最小值為，解對應不等式即可。

解析：（1）令， ，得.

記， ，則，

當時， ，

當時， ，

由此可知在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

且， .

又，

故當時， 在區間上無零點.　

當或時， 在區間上恰有一個零點.

當時， 在區間上有兩個零點.

（2）在區間（）上存在一點，使得成立等價于函數在區間上的最小值小于零.

.

①當，即時， 在區間上單調遞減，所以的最小值為，

由，可得，

∵，∴.

②當，即時， 在區間上單調遞增，所以的最小值為，

由，可得.　

③當，即時，可得的最小值為，

∵，∴， ，

此時不成立.

綜上所述，實數的取值范圍是.