Question

【題目】已知，，其中，函數與關于直線對稱．

（1）若函數在區間上遞增，求a的取值范圍；

（2）證明：；

（3）設，其中恒成立，求滿足條件的最小正整數b的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析；(3) 2.

【解析】

（1）求出的導函數，由函數在區間上遞增，則在上恒成立.

(2)由（1）可知當時，函數在區間上遞增，則可得，然后可證明.

(3)由恒成立，即，求出的導函數，然后再對求導，判斷符號，得出函數的單調性，求出最小值，列出不等式然后求解.

(1) ，則.

由函數在區間上遞增，
所以在區間上恒成立.

即在區間上恒成立.

設，則在區間上恒成立.

所以在單調遞.增，則，

所以.

(2) 由（1）可知當時，函數在區間上遞增，

所以，即，

所以.

所以.

（3）函數與關于直線對稱,則.

所以，即.

恒成立即,

又，設，則

由，所以，即在上單調遞增.

所以在上單調遞增.且，

則一定存在，使得.即，

所以

當時，，當時，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

則，

所以

由，，得.

設 ，則，

設，則在上恒成立.

所以在上單調遞增，所以，

所以在上單調遞增，.

又為整數，所以.

所以最小正整數b的值為2.