Question

【題目】已知集合，其中， ， ． 表示中所有不同值的個數．

（）設集合， ，分別求和．

（）若集合，求證： ．

（）是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）直接利用定義把集合P=2，4，6，8，Q=2，4，8，16中的值代入即可求出l（P）和l（Q）；
（2）先由ai+aj（1≤i＜j≤n）最多有個值，可得，；再利用定義推得所有ai+aj（1≤i＜j≤n）的值兩兩不同，即可證明結論．
（Ⅲ）l（A）存在最小值，設，所以．由此即可證明l（A）的最小值2n-3．

試題解析：

（）由， ， ， ， ， 得，

由， ， ， ， ， 得．

（）證明：∵最多有個值，

∴，

又集合，任取， ，

當時，不妨設，則，

即，

當， 時， ，

∴當且僅當， 時， ，

即所有的值兩兩不同，

∴．

（）存在最小值，且最小值為，

不妨設，可得，

∴中至少有個不同的數，即，

取，則，即的不同值共有個，

故的最小值為．