Question

【題目】已知函數，函數的圖像在處的切線方程為：

（1）求的值；

（2）若，成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)a=b=1;(2)(2,+∞).

【解析】

（1）對函數求導，在切點的導函數值就是切線的斜率，求出a、b的值；

（2）將原式化簡，變為新函數，對新函數求導討論單調性求出k的取值；

或是利用參變分離求最值，求得k的取值.

解：(1)f(x) =a ∴f(1) =a= ，f(1)= =，

解得a=b=1

∴f(x)= +

(2) (方法1)由+< +得， <0，∵x>0∴lnx+(1k)xk+3<0恒成立

設g(x)=lnx+(1k)xk+3 (x>0)

g(x)= +1k=

當k≤1時，g(x)≥0，y=g(x)在x(0,+∞)上單調遞增，不符合題意，舍去

當k>1時，y=g(x)在x(0,)上單調遞增，在x(,+∞)上單調遞減，

∴g(x)≤g()=ln+2k<0

設h(k)= 2kln(k1),h(k)=1<0,y=h(k)在k(1,+∞)上單調遞減

∵h(2)=0∴由h(k)<0解得k>2

綜上所述，k的取值范圍是(2,+∞).

（方法2）由+< +得， <0，∵x>0∴lnx+(1k)xk+3<0恒成立，

整理得：k> ，

令g(x)=,則g(x)=.

令h(x)= -lnx-3, (x>0),h(x)= - - <0在x>0時恒成立

所以，h(x)單調遞減，又h(1)=0，

所以，x∈(0,1)，h(x)>0,即g(x) >0, g(x)單調遞增

x∈(1,+∞)，h(x)<0, 即g(x) <0， g(x)單調遞減

g(x)在x=1處有最大值g(1)= 2

所以k>2,k的取值范圍是(2,+∞)