Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函數y=f（x）是偶函數，求出符合條件的實數a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實數a的取值范圍；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）f（x），試求函數y=F（x）在區間[1，2]上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=|x﹣a|為偶函數，

∴對任意的實數x，f（﹣x）=f（x）成立

即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，

∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立

∵x+a=a﹣x不能恒成立

∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0

（2）解：當a＞0時，|x﹣a|﹣ax=0有兩解，

等價于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有兩解，

即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有兩解，

令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，

因為h（0）=﹣a2＜0，所以 ，故0＜a＜1；

同理，當a＜0時，得到﹣1＜a＜0；

當a=0時，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．

綜上可知實數a的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，1）．

（3）解：令F（x）=f（x）g（x）

①當0＜a≤1時，則F（x）=a（x2﹣ax），

對稱軸 ，函數在[1，2]上是增函數，

所以此時函數y=F（x）的最大值為4a﹣2a2．

②當1＜a≤2時， ，對稱軸 ，

所以函數y=F（x）在（1，a]上是減函數，在[a，2]上是增函數，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a﹣2a2，

1）若F（1）＜F（2），即 ，此時函數y=F（x）的最大值為4a﹣2a2；

2）若F（1）≥F（2），即 ，此時函數y=F（x）的最大值為a2﹣a．

③當2＜a≤4時，F（x）=﹣a（x2﹣ax）對稱軸 ，

此時 ，

④當a＞4時，對稱軸 ，此時 ．

綜上可知，函數y=F（x）在區間[1，2]上的最大值

【解析】（1）根據函數為偶函數，f（﹣x）=f（x）對任意實數x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意實數x成立，去絕對值然后比較系數，可得a=0；（2）分三種情況加以討論：當a＞0時，將方程f（x）=g（x）兩邊平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有兩解，構造新函數h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2 ， 通過討論h（x）圖象的對稱軸方程和頂點坐標，可得0＜a＜﹣1；當a＜0時，用同樣的方法得到﹣1＜a＜0；而當a=0時代入函數表達式，顯然不合題意，舍去．最后綜合實數a的取值范圍；（3）F（x）=f（x）g（x）=ax|x﹣a|，根據實數a與區間[1，2]的位置關系，分4種情況加以討論：①當0＜a≤1時，則F（x）=a（x2﹣ax），根據函數的單調增的性質，可得y=F（x）的最大值為F（2）=4a﹣2a2； ②當1＜a≤2時，化成兩個二次表達式的分段函數表達式，其對稱軸為 ，得到所以函數y=F（x）在（1，a]上是減函數，在[a，2]上是增函數，最大值決定于F（1）與F（2）大小關系．因此再討論：當 時，y=F（x）的最大值為F（2）=4a﹣2a2；當 時，y=F（x）的最大值為F（1）=a2﹣a；③當2＜a≤4時，F（x）=﹣a（x2﹣ax），圖象開口向下，對稱軸 ，恰好在對稱軸處取得最大值： ；④當a＞4時，F（x）=﹣a（x2﹣ax），圖象開口向下，對稱軸 ，在區間[1，2]上函數是增函數，故最大值為F（2）=2a2﹣4a．最后綜止所述，可得函數y=F（x）在區間[1，2]上的最大值的結論．
【考點精析】本題主要考查了奇偶性與單調性的綜合和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．