Question

【題目】已知函數，.

(I)若，求函數的單調區間；

(Ⅱ)若存在極小值點，且，其中，求證: ；

(Ⅲ)試問過點可作多少條直線與的圖像相切?并說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)單調減區間為單調增區間為；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)答案見解析.

【解析】分析：（1）對進行求導計算即可得到單調區間；

（2）若存在極小值點，，則，由可得，化簡代入，即可得到證明；

（2）設切點坐標是，依題意：，化簡得：

設，，故函數在上零點個數，即是曲線切線的條數.，接下來對a進行分析討論即可.

解析：(1) ，

所以的單調減區間為單調增區間為；

(2) ，存在極小值點，則.

，則，

所以 代入所以 ，

則，又，所以；

(3) 時，有1條切線；時，有2條切線.

設切點坐標是，依題意：

即，化簡得：

設，

故函數在上零點個數，即是曲線切線的條數.

，

①當時， ，在上恰有一個零點1；

②當時， 在上恒成立，

在上單調遞減，且，

故在上有且只有一個零點，

當時， 在上恰有個零點；

③時，在上遞減，在上遞增，

故在至多有兩個零點，且

又函數在單調遞增，且值域是，

故對任意實數，必存在，使，此時

由于，

函數在上必有一零點；

先證明當時， ，即證

若，，而，由于

若，構建函數

，

在為增函數，

綜上時，，所以

，故

又，，所以在必有一零點.

當時， 在上有兩個零點

綜上：時，有1條切線；時，有2條切線.