Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，平面ABCD⊥平面ABE，F為CE的中點，且AE⊥BE．

（1）求證：AE∥平面BFD：

（2）求證：BF⊥AE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

以E為原點，EB為x軸，EA為y軸，過E作平面ABE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，（1）設出的長表示出各點坐標，由直線的方向向量與平面的法向量垂直得證線面平行；

（2）直接由方向向量垂直得兩直線垂直．

（1）以E為原點，EB為x軸，EA為y軸，過E作平面ABE的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，

由于平面平面，，是這兩個平面的交線，都在平面上，所以平面，平面，所以軸，軸，

設BE＝a，AE＝b，AD＝c，則A（0，b，0），E（0，0，0），F（），B（a，0，0），D（0，b，c），

（0，﹣b，0），（，0，），（﹣a，b，c），設平面BDF的法向量（x，y，z），

則，取x＝c，得（c，0，a），∵AE平面BDE，0，

∴AE∥平面BFD．

（2）∵（0，﹣b，0），（，0，），∴0，∴BF⊥AE．