Question

對于任意正整數n，定義n得雙階乘“n!!”如下：當n為偶數時，n!!=n（n-2）（n-4）…6•4•2；當n為奇數時，n!!=n（n-2）（n-4）…5•3•1，現有以下四個命題：
①（2011!!）（2010!!）=2011!
②2010!!=2¹⁰⁰⁵•1005!
③2010!!的個位數是0 
④2011!!的個位數是5．
其中正確的命題的個數為（ ）
A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：根據題意，依次分析四個命題可得：對于①，將（2011!!）（2010!!）依據定義展開可得（2011!!）（2010!!）=（1•3•5•7…2009•2011）•（2•4•6•8…2008•2010），進而可等于1•2•3•4•5…2008•2009•2010•2011=2011!，故正確；對于②，2010!!=2•4•6•8•10…2008•2010，可以將其變形為2¹⁰⁰⁵（1•2•3•4…1005）=2¹⁰⁰⁵•1005!，故正確；對于③，根據雙階乘的定義，2010!!=2•4•6•8…2008•2010，其中含有10，故個位數字為0，則正確；對于④，2011!!=2011×2009×2007×…×3×1，分析易得其中連續5項乘積的個位數字為5，則2011!!的個位數字與1×3×5×7×9的個位數字相同，故其個位為5，則正確；綜合可得答案．
解答：解：根據題意，依次分析四個命題可得：
對于1①，（2011!!）（2010!!）=（1•3•5•7…2009•2011）•（2•4•6•8…2008•2010）=1•2•3•4•5…2008•2009•2010•2011=2011!，故①正確；
對于②，2010!!=2•4•6•8•10…2008•2010=2¹⁰⁰⁵（1•2•3•4…1005）=2¹⁰⁰⁵•1005!，故②正確；
對于③，2010!!=2•4•6•8…2008•2010，其中含有10，故個位數字為0，則③正確；
對于④，2011!!=2011×2009×2007×…×3×1，其個位數字與1×3×5×7×9的個位數字相同，故其個位數字為5，則④正確；
四個命題都正確；
故選D．
點評：本題考查新定義型問題的求解思路與方法，理解透徹新定義的含義是關鍵．