Question

【題目】已知函數.

（1）若，函數的圖像與函數的圖像相切，求的值；

（2）若， ，函數滿足對任意，都有恒成立，求的取值范圍；

（3）若，函數,且有兩個極值點，其中，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）若，函數的圖像與的圖像相切，設切點為,則切線方程為，所以解得即可(2)根據在遞增.不妨設，原不等式，即.設，則原不等式在上遞減即在上恒成立,采用變量分離,求新函數的最值即可得解(3) 函數 , ，由題意知是的兩根，根據， ,構造新函數進行求導即可求最小值.

試題解析：

（1）若，函數的圖像與的圖像相切，設切點為,則切線方程為，所以得.所以.

（2）當時， ， ，所以在遞增.

不妨設，原不等式，即.

設，則原不等式在上遞減

即在上恒成立.所以在上恒成立.

設，在上遞減，所以，所以，又，所以.

（3）若，函數

，由題意知是的兩根，

∴， ，

令，

當時， ， 在上單調遞減， 的最小值為

即的最小值為.