Question

【題目】如圖，有一塊半圓形空地，開發商計劃建一個矩形游泳池ABCD及其矩形附屬設施EFGH，并將剩余空地進行綠化，園林局要求綠化面積應最大化．其中半圓的圓心為O，半徑為R，矩形的一邊AB在直徑上，點C、D、G、H在圓周上，E、F在邊CD上，且，設

（1）記游泳池及其附屬設施的占地面積為，求的表達式；

（2）當為何值時，能符合園林局的要求？

Answer 1

【答案】（1）；（2）當滿足時，符合園林局要求.

【解析】試題分析：（1）由圓的性質可得， ， ，由 為等邊三角形，

可得， ， ，所以 ，結合三角形面積公式可得結果 ；（2）由可得極值點滿足， ，利用導數研究函數的單調性可得當時是單調減函數，當時， 是單調增函數，所以當時， 取得最小值.

試題解析：（1）由題意， ， ，且 為等邊三角形，

所以， ， ，

， ．

（2）要符合園林局的要求，只要最小，

由（1）知，

令，即，解得或（舍去），

令 .

當時， 是單調減函數，當時， 是單調增函數，所以當時， 取得最小值.

答：當滿足時，符合園林局要求.

思路點睛】本題主要考查閱讀能力、數學建模能力和化歸思想以及導數在解決實際問題中的應用，屬于難題. 與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.理解本題題意的關鍵是：將游泳池及其附屬設施的占地面積為關于 的函數，然后利用導數解答.