Question

【題目】已知函數，其中=2.71828…為自然數的底數.

（1）當時，討論函數的單調性；

（2）當時，求證：對任意的， .

Answer 1

【答案】(1)f（x）在R上單調遞減.(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系進行討論即可；（2）對任意的x∈[0，+∞），轉化為證明對任意的x∈[0，+∞），，即可，構造函數，求函數的導數，利用導數進行研究即可．

試題解析：（1）當a=0時，f（x）=ex（sinx﹣e），

則f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），

∵sinx+cosx= 、

∴sinx+cosx﹣e＜0

故f′（x）＜0

則f（x）在R上單調遞減.

（2）當x≥0時，y=ex≥1，

要證明對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0.

則只需要證明對任意的x∈[0，+∞），

設g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，

看作以a為變量的一次函數，

要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，

則，即，

∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，

對于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，

則h′（x）=cosx﹣2x，

設x=t時，h′（x）=0，即cost﹣2t=0.

∴t=，sint＜

∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）單調遞增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）單調遞減，

則當x=t時，函數h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（）2+2﹣e

=sint﹣+2﹣e=sin2t+sint+﹣e=（+1）2+﹣e≤（）2+﹣e=﹣e＜0，

故④式成立，

綜上對任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0.