Question

【題目】已知數列{an}的前n項和Sn＝2an﹣1．

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）若數列{bn}滿足bn＝anlog2an+1，求數列{bn}的前n項和Tn．

Answer 1

【答案】（1）an＝2n﹣1（2）Tn＝1+（n﹣1）2n

【解析】

（1）運用數列的遞推式，結合等比數列的定義和通項公式，可得所求通項；

（2）求得bn＝anlog2an+1＝n2n﹣1，由數列的錯位相減法求和，以及等比數列的求和公式，計算可得所求和．

（1）Sn＝2an﹣1，可得n＝1時，a1＝S1＝2a1﹣1，即有a1＝1，

n≥2時，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an﹣2an﹣1，即為an＝2an﹣1，

可得{an}為首項為1，公比為2的等比數列，

可得an＝2n﹣1；

（2）bn＝anlog2an+1＝n2n﹣1，

前n項和Tn＝120+221+…+n2n﹣1，

2Tn＝12+222+…+n2n，

相減可得﹣Tn＝1+2+…+2n﹣1﹣n2n

n2n，

化簡可得Tn＝1+（n﹣1）2n．